算数・数学質問画像掲示板
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微分方程式の運算で - RumixEndou
2018/12/26 (Wed) 23:50:13
運算の理解に自信がありません。
ʃ M/(Mg-kv)=dt
という微分方程式を解く過程で、
Mg-kv =wとおき
両辺の微分はlog
0-k dv=dw
すなわち、
dv＝- dw/k
となり、元の①に代入、
公式ʃ (1/w)dw=log|w|+cという公式により
ʃ（m/(Mg-kv)）dv=-(M/k)ʃ dw/w=-M/k log|w|+c
と説明されるのですが、質問です。
式②の左辺の第１項が０はMgが実数でそれを微分したからなのか、
式③の左辺がどうして中の式になるのかわかりません。左辺の分母のMgが実数でそれをｖについて積分するから消えちゃうんでしょうか。-kvをｖについて積分するとkになるのですか？
いじょうですが、文字式の移行なんかが不得手です。よろしくお願いいたします。
Re: 微分方程式の運算で - インチキ
2019/10/07 (Mon) 11:48:40
【注】所々、勝手に解釈しております。ご容赦を。
【問題】M, g, kは定数、tは独立変数、v=v(t)のとき、
Q: M/(Mg-kv)dv=dtを解いて、解のv(t)を求めよ。
【解答例の要点】
上記Qを積分して、
1: I=ʃ {M/(Mg-kv)}dv=ʃ dt=t+m (mは積分定数).
ここで問題を簡単化するために, 次の置き換えを行って
解を求める。
2: w(t)=Mg-kv(t)
【解答例の詳細】
3: 上記2の全微分をとって, dw=d(Mg)-d(kv)=-kdv
(∵d(Mg)=0, dk=0).
3a: ∴ dv=-dw/k
4: 上記2のw及び3aのdvを、1のIに代入して,
I=ʃ{M/w}(-dw/k)= -(M/k)ʃ dw/w=-(M/k)ln|w|+c
(lnは自然対数；cは積分定数.)
5: 上記4のＩに2の結果(I=t+m)を代入して
I=-(M/k)ln|w|+c=t+m .よって、
ln|w|=-(k/M)(t+n) (n=m-cは定数)
∴|w|=exp{-(k/M)(t+n)}=E(t)(>0).
5a:i.e. w=[+/-]E
6: 上記2のwに5aの結果を代入することにより、
v(t)=(Mg-[+/-]E(t)))/k
なお, [+/-]、定数nを確定するためには, tの(初期)
条件等が必要.
シーサイド - モハ8902
2025/10/14 (Tue) 19:46:32
小松特別支援学校
２０２２年１０月 ７日．金曜日
高等部登校日
スクールバス１２時１５分下校
２０２２年１０月 ８日．土曜日
小学部．中学部登校日．ハロウィン学校見学会．フリーマーケット ８時４５分～１５時００分まで予定
スクールバス１５時１５分下校
献血受付 ９時１５分～１２時００分．１３時００分～１５時００分まで
昼食．小松うどん販売．オープニングセレモニー ９時１５分．体育館．アンサンブル金沢コンサート１０時００分．本校の体育館に開催．フィナァレー１４時４０分．本校の体育館
代休１０月１４日